Dalam pelajaran Ilmu Matematika, ada yang namanya deret geometri tak hingga, khususnya dalam pembelajaran tentang deret geometri. Di sekolah, pelajaran tentang deret ini biasanya diberikan di bangku SMA dan kerap muncul dalam ujian sekolah maupun ujian masuk perguruan tinggi.
Sebenarnya, apa deret geometri tak hingga tersebut? Bagaimana pula rumus dan contoh soalnya? Simak penjelasan lengkap tentang deret geometri tak hingga berikut ini!
Pengertian
Dalam KBBI, deret bisa berarti banyak hal, khusus untuk Ilmu Matematika, deret berarti barisan bilangan yang mempunyai perbedaan antarsuku yang sama. Sedangkan geometri berarti ilmu ukur atau cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.
Sedangkan hingga artinya dalam KBBI adalah batas penghabisan; batas. Artinya, deret geometri tak hingga adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan geometri yang banyaknya tak punya batas atau tak hingga.
Jika ada suatu barisan geometri U1, U2, U3, … , Un, maka deret geometrinya adalah U1 + U2 + U3 + … + Un. Dalam Ilmu Matematika, deret ini dilambangkan dengan S∞. Dengan rumus deret geometri tak hingga adalah S∞ = U1 + U2 + U3 + ….
Biasanya, U1 dilambangkan sebagai a atau angka awal pada barisan geometri tersebut. Sedangkan U2 adalah ar, dengan r adalah rasio deret tersebut. Jika ada barisan geometri 4, 12, 36, dan seterusnya, maka rasio barisan tersebut adalah 12/4 = 3 atau 36/12 = 3.
Jumlah deret geometri tak hingga adalah jumlah dari suku deret tersebut, misal dihitung sampai suku ke-n, maka jumlahnya adalah penjumlahan suku pertama sampai suku ke-n. Dalam pembahasan deret geometri, ada deret geometri berhingga dan deret geometri tak hingga. Sedangkan untuk deret geometri tak hingga juga dibagi menjadi dua, konvergen dan divergen.
Jenis-jenis Deret Geometri Tak Hingga
Deret ini jika dilihat dari dari nilai r dan n dibagi menjadi konvergen dan divergen.
-
Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Dalam KBBI, konvergen berarti bersifat menuju satu titik pertemuan; bersifat memusat. Artinya, deret konvergen adalah deret yang memusat alias tidak menyebar. Mereka memiliki limit jumlah. Rentang rasio deret ini berada di antara -1 dan 1, atau -1 < r < 1.
Jika n = ∞, maka rumus deret konvergen adalah:
S∞ = a / (1 – r)
dengan,
S = Jumlah deret
a = Suku pertama
r = rasio deret
-
Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Di KBBI, divergen artinya adalah dalam keadaan menjadi bercabang-cabang; dalam keadaan menyebar. Jadi, deret divergen adalah deret yang menyebar, tak terbatas jumlahnya, dan tidak memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu.
Rentang rasio deret divergen adalah r < -1 atau r > 1. Seluruh deret ini akan mengasilkan hasil +- ∞. Lalu, secara lengkap, bagaimana rumus dari deret ini ?
Baca juga: Pengertian Aturan Sinus, Contoh dan Cara Penyelesaian
Rumus Deret Geometri Tak Hingga
Jika ada suatu barisan geometri U1, U2, U3, … , Un, maka deret geometrinya adalah U1 + U2 + U3 + … + Un. Dalam Ilmu Matematika, deret ini dilambangkan dengan S∞. Dengan rumus deret geometri tak hingga adalah S∞ = U1 + U2 + U3 + ….
Hasil yang didapatkan tergantung dari rasio deret tersebut, bisa dibagi menjadi tiga:
- Jika r > 1, maka S∞ = + ∞
- Jika -1 < r < 1, maka S∞ = a / (1 – r)
- Jika r < -1, maka S∞ = – ∞
dengan,
S = jumlah deret
a = suku pertama
r = rasio deret
Mari simak penjelasan lebih lengkap dalam contoh soal berikut ini!
Contoh Soal
Berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai deret ini yang kerap keluar dalam ujian di SMA maupun masuk perguruan tinggi:
- Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah 2019, kemudian dibuat deret geometri baru dengan cara mengkuadratkan setiap suku dari deret awal. Jumlah deret baru adalah 10 kali jumlah deret awal. Jika rasio awal adalah x/y, hitung y – x!
Jawaban:
Untuk menyelesaikan hal ini, bisa menggunakan rumus deret geometri tak hingga guna menemukan rasio.
Deret awal:
S∞ = U1 + U2 + U3 + …. = 2019
a + ar + ar2 + … = 2019
a / (1-r) = 2019
Deret baru:
U12 + U22 + U32 + …. = 10 x 2019
a2 / (1-r)2 = 20190
a / (1-r) x a / (1+r) = 20190
Lalu, masukkan persamaan dari deret awal ke persamaan deret baru:
2019 x a / (1+r) = 20190
a / (1+r) = 10
a = 10 (1+r)
Masukkan persamaan a ini ke dalam persamaan deret awal:
a / (1-r) = 2019
10 (1+r) = 2019 x (1-r)
10 + 10r = 2019 – 2019r
10r + 2019r = 2019 – 10
2029r = 2009
r = 2009/2029
Bentuk r di atas merupakan rasio awal, alias di soal dikatakan sebagai x/y.
Jadi,
x/y = 2009/2029
Sehingga: y – x = 2029 – 2009 = 20
Dari penyelesaian tersebut kita mengetahui nilai y – x adalah 20.
- Jumlah deret geometri tak hingga berikut 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + … adalah …?
Jawaban:
Deret tersebut adalah tak konvergen dengan kita mengetahui,
a = 32
r = 16/32 = 1/2
dengan,
a = suku awal
r = rasio deret
Dari sini kita bisa mengetahui jumlah deret tersebut menggunakan rumus deret geometri tak hingga.
S∞ = a / (1 – r)
S∞ = 32 / (1 – 1/2)
S∞ = 32 / (1/2)
S∞ = 64
Jadi, jumlah deret tersebut adalah 64.
Demikian penjelasan lengkap soal arti, jenis, rumus, dan contoh soal deret geometri tak hingga. Untuk mempelajarinya, diperlukan fasilitas-fasilitas yang mendukung pembelajaran. Di Sampoerna Academy, fasilitas yang tersedia sangat lengkap dan akan sangat mendukung perkembangan siswa dalam belajar.
Selain itu, dengan menerapkan sumber daya digital terbaik di dalam kelas, Sampoerna Academy menggunakan perangkat belajar terbaik yang memungkinkan siswa menikmati belajar baik di dalam maupun di luar kelas.
Siswa dipandu untuk menggunakan dan menerapkan teknologi lebih dari sekedar sarana sosial untuk hiburan, namun sebagai alat untuk mengakses informasi, sumber daya, dan kerja tim.
Untuk informasi lebih lanjut terkait pendaftaran, kurikulum, kunjungan, dan informasi seputar Sampoerna Academy silakan mengisi data di bawah ini.
[formidable id=7]
Referensi
