Di dalam ilmu matematika, terdapat banyak sekali persamaan-persamaan alias rumus. Salah satu yang paling sering didengar adalah persamaan trigonometri. Persamaan ini umumnya akan diajarkan pada kelas 11. Biasanya, persamaan trigonometri kelas 11 yang akan dibahas adalah persamaan dasar.
Artikel ini akan membahas lebih lanjut mengenai persamaan trigonometri dasar beserta dengan contoh soalnya.
Nilai utama dapat dilihat pada garis biru dari grafik tersebut, letak tepatnya adalah pada interval 0º ≤ x ≤ 180º. Sedangkan untuk nilai cosinus lain dapat dilihat pada grafik di atas.
Untuk mengetahui nilai x ≥ 360º atau x ≤ 360º dapat dilihat dari persamaan berikut ini:
cos x = cos a
x = ± a + k . 360º
Contoh soal persamaan trigonometri cosinus:
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan cos x = 1 / √2 pada interval -120º ≤ x ≤ 450º
Jawab:
cos x = 1 / √2 . √2 / √2 = ½ √2
cos x = cos 45º
Artinya:
x = 45º + k . 360º
Untuk x = ± 45º + k . 360º berarti
k = 0 → x = 45º + (0) . 360º = 45º
k = 1 → x = 45º + (1) . 360º = 405º
k = 2 → x = 45º + (2) . 360º = 765º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
k = -1 → x = 45º + (-1) . 360º = -315º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
Sedangkan untuk x = -45º + 360º
k = 0 → x = - 45º + (0) . 360º = - 45º
k = 1 → x = - 45º + (1) . 360º = - 315º
k = 2 → x = - 45º + (2) . 360º = - 675º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
k = -1 → x = - 45º + (-1) . 360º = - 405º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
Jadi penyelesaian dari persamaan cosinus tersebut adalah x = {-45º , 45º , 315º , 405º}.
Nilai utama dari nilai tan x dapat dilihat pada garis yang berwarna biru yang letaknya berada pada interval -90º ≤ x ≤ 90º.
Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa nilai akan berulang pada x positif dan negatif. Sementara rumus untuk mencari nilai lainnya adalah:
tan x = tan a
x = a + k . 360º.
Keterangan:
k = konstanta bilangan bulat.
Contoh soal persamaan trigonometri tangen
Tentukanlah penyelesaian persamaan dari tan x = √3 pada interval 0 ≤ x ≤ 360º :
Jawab:
tan x = √3
x1 = tan (180º / 3 + k . 180º
x1 = 180 / 3 + k . 180º
Untuk k = 0 ⇒ x1 = 180º /3 = 60º
Untuk k = 1 ⇒ x2 = 720º /3 = 240º
Jadi penyelesaian dari persamaan tangen tersebut adalah x = {60º , 240º}.
Baca juga: Distribusi Peluang Binomial: Pengertian, Tabel, dan Contoh Soal
Pengertian Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan matematika yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui nilainya. Persamaan ini mirip persamaan linear atau kuadrat. Yang membedakan antara trigonometri dengan yang lainnya adalah himpunan penyelesaiannya berupa besaran sudut. Penyelesaian persamaan trigonometri dilakukan dengan cara mencari nilai sudut yang belum diketahui nilainya sehingga persamaan itu bernilai benar untuk suatu daerah tertentu. Adapun persamaan trigonometri sederhana terdiri dari persamaan pada sinus, cosinus, dan tangen. Materi persamaan trigonometri yang sederhana akan dibatasi pada penyelesaian pada rentang 0 derajat sampai 360 derajat atau dapat dikatakan 2π. Persamaan yang kerap ditemui biasanya adalah dalam bentuk dasar. Namun, terkadang ada persamaan trigonometri bentuk kuadrat yang mengharuskan untuk mengubah menjadi persamaan kuadrat. Contoh sederhana dari persamaan ini antara lain: sin (x) = 0 sin (x) = cos (x) sin (x) = tan (x) Tiga persamaan itu seperti yang dapat dilihat mengandung fungsi trigonometri.Jenis Persamaan Trigonometri
-
Persamaan Sinus
Misalnya adalah y = sin x, untuk -360º ≤ x ≤ 360º. Dan berikut ini adalah gambaran dari persamaan tersebut:
-
Persamaan Cosinus
Nilai utama dapat dilihat pada garis biru dari grafik tersebut, letak tepatnya adalah pada interval 0º ≤ x ≤ 180º. Sedangkan untuk nilai cosinus lain dapat dilihat pada grafik di atas.
Untuk mengetahui nilai x ≥ 360º atau x ≤ 360º dapat dilihat dari persamaan berikut ini:
cos x = cos a
x = ± a + k . 360º
Contoh soal persamaan trigonometri cosinus:
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan cos x = 1 / √2 pada interval -120º ≤ x ≤ 450º
Jawab:
cos x = 1 / √2 . √2 / √2 = ½ √2
cos x = cos 45º
Artinya:
x = 45º + k . 360º
Untuk x = ± 45º + k . 360º berarti
k = 0 → x = 45º + (0) . 360º = 45º
k = 1 → x = 45º + (1) . 360º = 405º
k = 2 → x = 45º + (2) . 360º = 765º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
k = -1 → x = 45º + (-1) . 360º = -315º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
Sedangkan untuk x = -45º + 360º
k = 0 → x = - 45º + (0) . 360º = - 45º
k = 1 → x = - 45º + (1) . 360º = - 315º
k = 2 → x = - 45º + (2) . 360º = - 675º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
k = -1 → x = - 45º + (-1) . 360º = - 405º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
Jadi penyelesaian dari persamaan cosinus tersebut adalah x = {-45º , 45º , 315º , 405º}.
-
Persamaan Tangen
Nilai utama dari nilai tan x dapat dilihat pada garis yang berwarna biru yang letaknya berada pada interval -90º ≤ x ≤ 90º.
Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa nilai akan berulang pada x positif dan negatif. Sementara rumus untuk mencari nilai lainnya adalah:
tan x = tan a
x = a + k . 360º.
Keterangan:
k = konstanta bilangan bulat.
Contoh soal persamaan trigonometri tangen
Tentukanlah penyelesaian persamaan dari tan x = √3 pada interval 0 ≤ x ≤ 360º :
Jawab:
tan x = √3
x1 = tan (180º / 3 + k . 180º
x1 = 180 / 3 + k . 180º
Untuk k = 0 ⇒ x1 = 180º /3 = 60º
Untuk k = 1 ⇒ x2 = 720º /3 = 240º
Jadi penyelesaian dari persamaan tangen tersebut adalah x = {60º , 240º}.
Baca juga: Distribusi Peluang Binomial: Pengertian, Tabel, dan Contoh Soal
