Mempelajari Rumus Mencari Determinan Matriks dan Contoh Soal

Dalam matematika, determinan merupakan salah satu yang perlu dipelajari. Butuh ketelitian dan kesabaran tingkat tinggi untuk mempelajari determinan. Determinan adalah salah satu pembelajaran yang selalu menarik untuk dibahas. Kira-kira apa sih determinan? Yuk simak penjelasannya di bawah ini.

Pengertian Determinan 

Determinan adalah suatu nilai yang bisa dihitung dari unsur-unsur matriks yang berbentuk menyerupai persegi. matriks sendiri adalah beberapa bilangan yang disusun membentuk  bangun yang mirip persegi. 

Determinan matriks A disimbolkan dengan det(A), det A, atau |A|.

Matriks persegi ini sendiri merupakan matriks yang mempunyai jumlah kolom dan barisnya sama. Apabila jumlah baris dan kolomnya berbeda, maka determinannya tidak bisa dicari.

Teori dasar dari matriks adalah menjumlahkan kolom pada tabel atau mengurangi, membagi, atau mengalikan nilai yang ada di suatu kolom. 

Sifat Determinan Matriks

Determinan memiliki karakter atau sifat tertentu. Misalnya, ada sebuah matriks A dan B yang mempunyai nilai dari determinan dengan ordo n x n, maka sifatnya adalah: 

1. |AB| = |A| |B|
2. |AT| = |A|. Simbol T merupakan transpose matriks.
3. |A-1| = 1/|A| atau disebut juga dengan invers matriks.
4. |kA| = kn|A|. K merupakan bilangan riil dan n adalah ordo matriks A.
5. Apabila sebuah matriks semua elemen baik baris maupun kolomnya adalah 0, maka nilai determinannya juga 0.
6. Apabila pada matriks dua baris atau kolomnya sama atau kelipatannya, maka nilai determinannya adalah 0. 

Cara Mencari Determinan 

Terdapat dua tipe determinan yang biasa dicari, yaitu: 

• Determinan Matriks Ordo 2×2

Contoh dari determinan matriks ordo 2×2, yaitu:

A=(a b c d)

Elemen dari matriks tersebut adalah a,b,c,d. Untuk susunannya  a berdiagonal dengan d, sedangkan b berdiagonal dengan c. 

Dari contoh tersebut, untuk mencari determinan dari matriks A adalah dengan cara mengurangkan hasil kali dari diagonal ad dengan hasil kali diagonal bc. Jadi rumusnya adalah: 

det A = (a.d) – (b.c)

• Determinan Matriks Ordo 3×3

Contoh bentuk determinan matriks ordo 3×3, yaitu:

A=(a b c d e f g h i )

Berbeda dengan determinan 2×2, determinan 3×3 memiliki dua cara untuk mencarinya. Dua cara itu antara lain, sarrus dan minor kofaktor. 

Determinan 3×3 ini cenderung lebih rumit untuk dicari dibandingkan dengan determinan 2×2. Berikut penjelasannya:

• Sarrus

Karena pada determinan 3×3 memiliki elemen yang lebih banyak, maka cara untuk mencarinya pun cukup panjang. Khusus untuk aturan sarrus berikut ini adalah cara menghitungnya:

• Determinan yang pada awalnya hanya 3×3, disusun ulang dengan penambahan dua elemen terdepan di masing-masing baris.
• Setelah matriks tersusun ulang, buat garis diagonal, ke arah kanan mulai dari a,b,c. Kemudian pada elemen c,a,b juga buat garis diagonal tetapi ke arah kiri bawah.

Gambar 1

• Kemudian tambahkan antara masing-masing garis diagonal pada (a,e,f),(b,f,g), dan (c,d,h). Sedangkan pada garis diagonal yang menuju ke arah kiri bawah, yaitu (c,e,g), (a,f,h), dan (b,d,i). 
• Tiap elemen di dua garis diagonal itu masing-masing dikalikan tiap elemennya. Jadi akan menemukan rumus sebagai berikut:

det A = (a.e.i) + (b.f.g) + (c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

• Minor Kofaktor

Selain cara sarrus, ada pula cara menghitung determinan matriks 3×3 dengan cara minor kofaktor. Minor kofaktor ini memiliki cara yang sedikit lebih rumit dan dibandingkan sarrus. Secara sederhana untuk mencari determinan 3×3 dapat didefinisikan seperti ini: 

1. Minor elemen Aij dinotasikan Mij adalah Mij = det (Aij)
2. Kofaktor elemen Aij dinotasikan a ij , adalah a ij (-1)i+j

 Ada tiga langkah yang dilakukan untuk mencari determinan 3×3 dengan cara ini, yaitu: 

• Mencari Minor

Mencari minor pertama (M11) dari kolom pertama (a,d,g) dan baris pertama (a,b,c) dengan menghapus keduanya.

A= ( a b c d e f g h i )

Sehingga dihasilkan matriks 2×2 baru, yaitu

A11= [ e f h i ]

M11= ( e . i )  – ( f . h )

Mencari minor kedua (M12) dengan menghapus baris pertama (a,b,c) dan kolom kedua (b,e,h). Sehingga ditemukan matriks 2×2, seperti ini:

A12= [ d f g i ]

M12=( d . i ) – ( f . g )

Mencari minor ketiga (M13) dengan cara menghapus baris pertama dan kolom ketiga, sehingga ditemukan matriks 2×2 baru seperti ini:

A13= [ d e g h ]

M11= ( d . h ) – ( e . g )

• Mencari Kofaktor

Setelah minor dicari, kofaktor (C) pun juga dicari dengan cara: 

C11 = M11

C12 = – M12

C13 = M13

• Mencari Determinan

Setelah minor dan kofaktor ditemukan, maka rumus yang akan ditemukan adalah:

det A= ( a . C 11) – ( b . C 12 ) + ( c . C13 )  

 

Manfaat Mempelajari Determinan Matriks 

Mungkin sebagian dari kalian berpikir sebenarnya apa tujuan dari mempelajari determinan yang terbilang cukup rumit (terutama determinan 3×3). Pada dasarnya semua ilmu pengetahuan dipelajari pasti ada tujuannya.

Salah satu profesi yang akan sangat terbantu dengan keberadaan determinan ini adalah para engineer yang memiliki pekerjaan menyelesaikan masalah-masalah dengan banyak variabel. 

Selain itu, determinan matriks juga bisa digunakan untuk pembuatan rapot dan jurnal.

Manfaat itu antara lain: 

• Membantu menganalisis permasalahan ekonomi yang memiliki berbagai macam variabel.
• Membantu mencari solusi dalam operasi penyelidikan, seperti misalnya adalah operasi penyelidikan sumber daya alam, seperti minyak bumi, batu bara, dan lain sebagainya.
• Digunakan untuk membantu analisis di bidang ekonomi, statistik, sains, pendidikan, sampai ke bidang teknologi. 
• Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier, pemrograman komputer, transformasi geometri, dan juga menentukan jadwal siaran televisi. 

Contoh soal Determinan 

Contoh soal determinan 2×2

• Tentukanlah determinan dari matriks berikut ini: 

A =( 2 5 4 3 )

Jawab:

det A = [ 2 5 4 3 ] =2 × 3–5× 4=6-20= -14

Maka, determinan dari matriks di atas adalah -14.

• Tentukanlah determinan dari matriks berikut ini:

A = ( 4 8 2 5 )

Jawab: 

det A = [ 4 8 2 5 ] =4 × 5–8× 2=20-16= 4

Maka, determinan dari matriks di atas adalah 4.

 

• Tentukanlah determinan dari matriks berikut ini:

A = ( 9 8 7 6 )

Jawab: 

det A = [ 9 8 7 6 ] =9 × 6–8× 7=54-56= -2

Maka, determinan dari matriks tersebut adalah -2 

• Tentukanlah determinan dari matriks b jika diketahui matriks berikut ini

A= (2 5 4 3 ) dan B= ( 2a 4 3 3b )

Jika matriks A adalah a = 2, b = 5, c = 4, dan d = 3. Sedangkan pada matriks B adalah e = 2a, f = 4, g = 3, dan h = 3b.

Jawab: 

det B = [ 2a 4 3 3b ]

Maka:

e = 2×2 = 4

h = 3×5 = 15

det B = [ 4 4 3 15 ] = (4×15) – (4×3) = 60 – 12 = 48

Maka determinan dari Matriks B adalah 48.

Contoh soal determinan 3×3

• Tentukanlah nilai determinan dari matriks ordo 3×3 berikut ini dengan metode sarrus: 

A= ( 1 2 3 2 1 4 3 1 2 )

Jawab: 

A= (1 2 3 2 1 4 3 1 2     1 2   2 1   3 1 )

det A = (1.1.2) + (2.4.3) + (3.2.1) – (2.2.2) – (1.4.1) – (3.1.3)

det A = 2 + 24 + 6 – 6 – 4 – 9

det A = 11

Maka determinan dari matriks 3×3 di atas adalah 11

• Tentukanlah nilai determinan dari matriks ordo 3×3 berikut ini dengan metode Minor Kofaktor: 

A= ( 3 2 1 1 4 2 5 1 0 )

Jawab: 

M11=4.0–2.1

M11=2

M12=1.0–2.5

M12= -10

M13=1.1–4.5

M13=-19

 

det A=3.2–2.-10+(1.-19)  

det A=36+20-(19)  

det A=-3

Maka nilai determinan dari ordo 3×3 di atas adalah -3. 

Demikianlah pembahasan mengenai rumus matematika dalam mencari determinan matriks.

Materi seperti determinan matriks tentunya akan diajarkan di Sampoerna Academy. Namun, di Sampoerna Academy akan menggunakan metode pengajaran yang berbeda sehingga manfaat dari ilmu yang didapat bisa diserap dengan lebih baik oleh siswa.

Dengan kekuatan sistem terpadu, Sampoerna Academy memastikan setiap siswa dibimbing dan dididik secara holistik, mulai dari akademik hingga pengembangan karakter dan menumbuhkan semangat untuk belajar seumur hidup.

Referensi
Ruangguru.com – Mencari Determinan