Dalam dunia matematika saat membahas tentang geometri, khususnya transformasi geometri, ada yang namanya dilatasi. Dilatasi adalah salah satu bagian penting dari pembahasan transformasi geometri tentang bentuk ruang.
Akan tetapi apa itu dilatasi? Dan bagaimana rumus serta contoh soal dilatasi? Kita kupas semuanya dalam pembahasan berikut.
Pengertian dan Konsep Dilatasi
Dilatasi matematika adalah salah satu pembahasan utama saat memasuki bahasan soal geometri dan transformasi geometri dalam pembelajaran matematika, khususnya saat masuk jenjang SMA dan perguruan tinggi.
Dalam KBBI, transformasi artinya perubahan rupa, sedangkan geometri adalah cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.
Jadi, secara sederhana, transformasi geometri adalah transformasi yang mempelajari proses perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar, dan bentuknya sendiri. Salah satu sebab terjadinya transformasi ini adalah dilatasi.
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah bentuk bangun geometri, entah memperkecil atau memperbesar, tanpa mengubah bentuk asli bangunnya. Perubahan karena dilatasi ini ditentukan oleh faktor skala untuk menggali dan juga titik pusat dilatasi.
Faktor skala merupakan skala yang digunakan untuk tahu seberapa kecil atau besar bayangan hasil dilatasi jika dibandingkan dengan objek aslinya.
Sedangkan titik pusat dilatasi merupakan titik yang jadi acuan pengukuran dalam terjadinya transformasi tersebut. Dilatasi ini bisa dilakukan terhadap titik, garis, bangun, dan segala bentuk geometri yang ada.
Sifat-sifat Dilatasi
Dilatasi adalah masalah matematika, yang artinya memiliki sifat-sifat tertentu. Ada beberapa sifat dilatasi yang harus diketahui, terutama berhubungan dengan faktor skala yang biasa disebut dengan k.
- Jika k > 1, maka bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi.
- Jika 0 < k < 1, maka bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi.
- Jika -1 < k < 0, maka bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi.
- Jika k < -1, maka bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi.
Artinya, perbesaran dan pengecilan serta posisi bangun dilatasi tergantung dari nilai k.
Selain itu, sifat lainnya adalah bangun beserta ukuran sudut akan selalu sama, dan memetakan garis menjadi garis. Sedangkan di mana letak bayangan, tergantung dari titik pusat dilatasi yang bisa berada di (0, 0) ataupun di tempat lain (a, b).
Penggunaan Dilatasi
Dalam dunia nyata, ada banyak hal yang menggunakan dilatasi sebagai dasarnya. Skala peta misalnya, dengan skala 1:100m artinya 1cm di peta sama dengan 100m di dunia nyata, ini menggunakan sistem dilatasi.
Dilatasi digunakan di banyak disiplin ilmu mulai dari teknik industri, teknik mesin, arsitektur, dan ilmu-ilmu teknik lainnya. Bahkan dalam fisika, ada yang namanya dilatasi waktu, artinya ada perbedaan waktu yang tercatat dari dua pengamat meskipun bergerak secara bersamaan.
Hal ini contohnya dalam film Interstellar saat waktu 1 jam di planet berair yang mereka singgahi sama waktunya dengan tujuh tahun di bumi!
Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar, Rumus, Aplikasi dan Contoh Soal
Rumus Dilatasi
Ada beberapa notasi dan hal yang harus diketahui sebelum mengetahui dan masuk ke pembahasan soal rumus. Titik pusat dilatasi biasanya dilambangkan dengan titik pusat O(0,0) dengan faktor skala disebut k dan notasinya adalah [O, k].
Dalam pembahasan, bayangan atau hasil dilatasi dari titik A(x, y) adalah A'(x’, y’), dengan persamaan transformasinya adalah x’=kx dan y’=ky. Artinya, rumus dilatasi dengan titik pusat 0 dan faktor skala k adalah:
(x, y) -> (x’, y’) = (kx, ky)
Bagaimana jika pusat bukan 0 tetapi P (a,b)?
Jika itu terjadi, maka rumusnya menjadi:
K(x-a) = x’-a
x’ = K(x-a) + a
K(y-b) = y’-b
y’ = K(y-b) + b
(x, y) → (x’, y’) = (K(x-a) + a, K(y-b) + b)
Contoh Soal Dilatasi dan Pembahasan
Kita sudah mengetahui tentang rumus-rumus tentang dilatasi, lalu bagaimana contoh soalnya? Soal-soal tentang dilatasi dan transformasi geometri memang banyak ditemui di bangku sekolah SMA serta tes masuk perguruan tinggi.
Berikut ini adalah contoh soal dilatasi:
- Segitiga ABC memiliki titik sudut A (2, 3), B (7, 1) dan C(-2, -5). Jika terjadi dilatasi dengan faktor skala k=3 dengan pusat o (0,0), tentukan titik sudut dari bayangan segitiga ABC.
Soal ini mudah dijawab, tinggal mengalikan faktor skala dengan tiap titik dari segitiga ABC.
Jadi,
A’=(k.2, k.3)
A’=(6, 9)
B’=(k.7, k.1)
B’=(21, 3)
C’=(k.-2, k.-5)
C’=(-6, -15)
Dari jawaban tersebut, didapatkan bahwa titik sudut segitiga A’B’C’ adalah A'(6, 9) B’ (21, 3) dan C’ (-6, -15).
- Akan dilakukan dilatasi tiga kali lipat terhadap titik A (1, 2) dengan pusat (-5, 1), di mana letak titik A’?
Karena pusat dilatasi ada di P(a, b), maka bisa menggunakan rumus yang kedua untuk menyelesaikan soal ini.
Jadi,
(x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)
(1, 2) → (xˡ, yˡ) = (3(1 – (-5)) + (-5), 3(2 – 1) + 1)
(1, 2) → (xˡ, yˡ) = (13, 4)
Dari jawaban ini didapatkan bahwa letak titik A’ berada di A'(13, 4).
- Ada titik A (2,3) yang akan mendapatkan dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat dilatasi O (0, 0), selain itu juga mendapat dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat R (1, 1). Tentukan titik bayangan A untuk kedua dilatasi tersebut!
Untuk menjawab soal pertama, karena pusat ada di (0, 0), maka hanya perlu mengalikan titik dengan faktor skala dilatasi k.
Jadi,
A’=(k.2, k.3)
A’=(4, 6)
Jadi, untuk dilatasi pertama, titik bayangan A berada di A'(4, 6).
Sedangkan untuk soal kedua, bisa menggunakan rumus yang kedua dengan pusat dilatasi R (1, 1). Sebut saja bayangan kedua ini dengan B.
Jadi,
(x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)
(2, 3) → (xˡ, yˡ) = (2(2-1) + 1, 2(3-1) + 1)
(2, 3) → (xˡ, yˡ) = (3, 5)
Dari jawaban ini didapatkan untuk bayangan A yang kedua terletak di B (3, 5).
Itu merupakan pembahasan-pembahasan, sifat, dan contoh soal tentang dilatasi dalam pembahasan geometri dan transformasi geometri matematika, semoga membantu!
Demikian penjelasan mengenai dilatasi mulai dari pengertian, rumus, hingga contoh soalnya. Pembahasan ini akan dibahas lebih dalam di mata pelajaran matematika. Di Sampoerna Academy, mata pelajaran matematika menjadi salah satu yang dipelajari lebih mendalam. Ini dikarenakan penerapan metode belajar berbasis STEAM (Science, Technology, Engineering, Arts, and Math) yang memberikan ruang bagi siswa untuk menjadi warga dunia yang dewasa, percaya diri dengan tujuan hidup yang kuat.
Selain itu, dengan filosofi pengajaran yang memotivasi siswa untuk bertanya, bereksplorasi, berinovasi dan berkomunikasi, serta memberikan keterampilan penting yang dibutuhkan untuk kepemimpinan baik di Indonesia maupun di luar negeri. Ditambah dengan kualifikasi akademik yang diakui secara internasional, Sampoerna Academy mempersiapkan siswa untuk bersaing dan berhasil di setiap tahap kehidupan.
Referensi
